《普林斯顿微积分读本》读书笔记————第一章

集合 (aggregate)

为了后面我们更好的理解函数，我们需要先了解下什么是集合。

举个简单的例子：

问题家里有多少种宠物？分别是哪些？假如我们家有两只狗，三条金鱼，一只猫。那我应该怎么回答？

我应该回答：3 种，分别是狗，猫，鱼。

狗，猫，鱼就组成了家里的宠物种类的集合。而狗，猫，鱼都是这个集合的元素。

用数学的方法表示就是家里的宠物种类={狗，猫，鱼}

集合的三个特性

确定性：

给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

说人话就是：在人类性别的集合里，要么是女要么是男。

互异性：

一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。

说人话就是：我家两条狗，但是在家里的宠物种类的集合里只会出现一次狗，而不会出现两次狗。

无序性：

一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。

说人话就是：{狗，猫，鱼}和{狗，鱼，猫}是等价的。

集合的分类

空集：

什么元素都没有的集合就是空集，用符号∅表示。

空集是个特殊的集合，它有 2 个特点：

1. 空集∅是任意一个非空集合的真子集。
2. 空集是任何一个集合的子集。

那什么是子集和真子集呢？

子集：

函数

函数是将一个对象转换为另一个对象的规则。起始对象成为输入，来自成为定义域的集合。返回的对象成为输出，来自称为上域的集合。

$$
f(x) = x^2
$$

$f$是变换规则，而$f(x)$是把这个变换规则应用与变量x后得到的结果。因此说f(x) 是一个函数是不正确的，应该是f 是一个函数

用 JavaScript 举个例子

function addOne(x){
    x += 1;
    return x;
}

console.log(addOne(1)) // 2
console.log(addOne) // [Function: addOne]

演示：

➜ node
Welcome to Node.js v12.13.1.
Type ".help" for more information.
> function addOne(x){
...     x += 1;
...     return x;
... }
undefined
>
> console.log(addOne(1))
2
undefined
> console.log(addOne)
[Function: addOne]
undefined
>

令g(x) = x^2的定义域为大于或者等于 0 (x>=0)，它看上去和上面的f一样，但是实际不一样，因为定义域不一样。例如f(-1/2)=1/4，而g(-1/2)却是没有意义的。函数g会拒绝非其定义域中的一切。由于g和f有相同的规则，但g的定义域小于f的定义域，因此我们就说g是由限制f的定义域产生的。

一个函数必须给每一个有效的输入制定唯一的输出：一个患有消化不良症的狗，吃什么都会吐出来。我们可以令j(x)=当狗吃 x 时呕吐物的颜色。为了使之有效，我们必须认为如果狗吃了玉米面卷，它的呕吐物始终是一种颜色。如果有时是红色，有时是绿色，那就不太好了。

这个是什么意思呢？难道函数还会有不唯一的输出的情况？数学上的例子我是找不到了，以为我是数学渣。但是我能找到一类 JavaScript 的函数。

function getTime(x){
    return new Date() + " " + x
}

演示：

➜ node
Welcome to Node.js v12.13.1.
Type ".help" for more information.
> function getTime(x){
... return new Date() + " " + x
... }
undefined
> getTime(2)
'Wed Dec 11 2019 16:16:00 GMT+0800 (GMT+08:00) 2'
> getTime(2)
'Wed Dec 11 2019 16:16:02 GMT+0800 (GMT+08:00) 2'

值域是所有可能的输出组成的集合。值域是可以重复的。

值域是上域的子集，上域是可能输出的集合，值域是实际输出的集合。

区间表示法

[a, b] # {x:a<=x<=b} 闭区间
(a, b] # {x:a<x<=b} 半开区间
[a, b) # {x:a<=x<b} 半开区间
(a, b) # {x:a<x<b} 开区间

求定义域

就是求输入集合，需要考虑到式子对定义域取值的限制

1. 分数的分母不能是零
2. 不能区一个附属的平方根
3. 不能取一个负数和零的对数
4. tan(90deg) 是无定义的

利用图像求值域

垂线检验

圆形轨道公式不是函数，因为没有通过垂线检验。

反函数

1. 从一个函数 f 出发，使得：对于在 f 值域中的任意 y，都只有唯一的 x 值满足 f(x)=y，也就是说，不同的输入对于不同的输出，现在我们就来定义反函数$f^-1$
2. $f^-1$的定义域和 f 的值域相同
3. $f^-1$的值域与 f 的定义域相同
4. $f^-1(y)$的值就是满足 f(x)=y 的 x。所以如果 f(x)=y，那么$f^-1(y)=x$

水平线检验

Q1: 如何知道对于 f 值域中的任意 y，只有一个 x 值满足$f(x)=y$，最好的方法也许是看下函数图像。

水平线检验这是用来检验一个函数是否存在反函数的一种方法。

求逆

Q2: 如何求得函数 f 的反函数？

如果一个函数有反函数，那么反函数的图像会与原函数关于 y=x 对称（镜像）

限制定义域

Q3: 如果水平线检验失败并且没有反函数，那么应该怎么办？

解决这个唯一的方法是：除了这些多个 x 值中的一个，我们放弃所有其他的值，这称为限制函数的定义域。

关于反函数的反函数

如果 f 有反函数，那么对于在 f 定义域中的所有的 x，$f^-1(f(x)) = x$成立；同样，对于在 f 值域中的所有的 y, 都有 x，$f(f^-1(y)) = y$

对于限制定义域的情况需要注意：

如果一个函数 f 的定义域可以被限制，使得 f 有反函数$f^-1$，那么

• 对于 f 值域中的所有 y，都有$f(f^-1(y))=y$, 但是
• $f^-1(f(x))$可能不等于 x；事实上，$f^-1(f(x)) = x$仅当 x 在限制的定义域中才成立

函数的复合

将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

我们使用下面的形式表示

$$
f=hog
$$

从右到左，g 的输出是 h 的输入。

用 js 的写法就是

function g(x){
    return x+1;
}

function h(x){
    return x*x;
}

const f = h(g(1))
console.log(f)

函数的复合与函数顺序有关，而函数的乘积与函数的顺序无关

奇函数和偶函数

当对 f 定义域内所有的 x，有 f(-x)=f(x)，则 f 是偶函数。函数的图像关于 y 轴具有镜像对称性

当对 f 定义域内所有的 x，有 f(-x)=-f(x)，则 f 是奇函数。函数的图像关于原点具有 180 度的点对称性

一个函数可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能是非奇非偶函数。

只有一个函数是又奇又偶的，f(x)=0（零函数）

怎么验证奇偶性

要判断一个函数的奇偶性，使用定义，将原函数的 x 换成-x，与原函数做对比。 f(-x)=f(x)，则 f 是偶函数。f(-x)=-f(x)，则 f 是奇函数。前面两者都不是则是非奇非偶函数。

线性函数的图像

形如 f(x)=mx+b 的函数叫做线性函数。

如果已知直线通过点$(x_0,y_0)$斜率为 m，则它们的方程为$y-y_0=m(x-x_0)$

如果一条直线通过$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，则它的斜率为$(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$